Đáp án:
a)Do PA và PC là 2 tiếp tuyến của (O) nên PA = PC.
Ta có : PA = PC và OA = OC
nên PO là trung trực của AC.
Từ đó suy ra PO vuông AC nên CM vuông góc với OM.
Tương tự : QO là trung trực của BC nên QO vuông góc BC.
Từ đó suy ra CN vuông ON.
Mà : AB là đường kính nên:
$\widehat {ACB} = {90^0}$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó AC vuông góc BC, do vậy CM vuông góc CN.
Suy ra: CMON là hình chữ nhật
=>CMON là tứ giác nội tiếp.
CMON là hình chữ nhật
⇒OC=MN (hai đường chéo của hình chữ nhật)
Ta có OP ⊥ AC, QO ⊥ BC, AC ⊥ BC nên OP⊥ OQ.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác POQ ta có :
$C{O^2} = PC.QC \Rightarrow M{N^2} = PA.QB$
b) Gọi I là trung điểm của PQ
=> I là tâm đườg tròn ngoại tiếp tam giác POQ vì tam giác PQO vuông tại O
Ta có: PA ⊥ AB, QB ⊥ AB
=> PA // QB.
=> APQB là hình thang.
Có I là trung điểm PQ và O là trung điểm AB nên IO là đường trung bình APQB.
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IO//PA\\
IO = \dfrac{{PA + QB}}{2} = \dfrac{{PC + QO}}{2} = \dfrac{{PQ}}{2} = IP = IQ
\end{array} \right.\\
\Rightarrow OI \bot AB = O
\end{array}$
=> AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính PQ.
