Giải thích các bước giải:
a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC, BF\perp AE$
Mà $AC\cap BF=I$
$\to I$ là trực tâm $\Delta ABE\to EH\perp AB$
$\to \widehat{EFB}=\widehat{EHB}(=90^o)$
$\to BEFH$ nội tiếp
b.Xét $\Delta ECA,\Delta EBF$ có:
Chung $\hat E$
$\widehat{ECA}=\widehat{EFB}(=60^o)$
$\to \Delta ECA\sim\Delta EFB(g.g)$
$\to \dfrac{EC}{EF}=\dfrac{EA}{EB}$
$\to EC.EB=EF.EA$
c. Ta có $CD\perp AB=O\to \widehat{COA}=\widehat{COB}=\widehat{BOD}=\widehat{AOD}(=90^o)$
$\to AC=CB=BD=DA$
Ta có $\widehat{IHA}=90^o , \widehat{IAH}=\widehat{CAB}=\dfrac12\widehat{COB}=45^o$
$\to \Delta HAI$ vuông cân tại $H\to HI=HA=\dfrac12R$
$\to HB=HO+OB=\dfrac32R$
Mà $EH\perp AB, \widehat{EBH}=\widehat{CBA}=45^o$
$\to \Delta EHB$ vuông cân tại $H$
$\to HE=HB=\dfrac32R$
$\to S_{EAB}=\dfrac12EH.AB=3R^2$
Xét $\Delta EFC, \Delta EAB$ có:
Chung $\hat E$
$\widehat{ECF}=\widehat{EAB}$
$\to \Delta ECF\sim\Delta EAB(g.g)$
$\to \dfrac{S_{ECF}}{S_{EAB}}=(\dfrac{EC}{EA})^2$
Ta có $HI//CO(\perp AB), H$ là trung điểm $AO\to I$ là trung điểm $AC\to IA=IC=\dfrac12AC=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}$
Lại có $\widehat{ECI}=90^o, \widehat{CEI}=\widehat{BEH}=45^o\to\Delta ECI$ vuông cân tại $C$
$\to EC=EI=\dfrac{R\sqrt2}{2}$
$\to EA=\sqrt{EC^2+CA^2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
$\to \dfrac{EC}{EA}=\dfrac1{\sqrt5}$
$\to \dfrac{S_{ECF}}{S_{EAB}}=\dfrac15$
$\to S_{ECF}=\dfrac15S_{EAB}=\dfrac35R^2$
