a) Ta có:
$BE\perp AC;\, CF\perp AB$
$\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$
$\Rightarrow BCEF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BEF}=\widehat{BCF}$
Ta lại có:
$\widehat{BCF}=\widehat{BCN}=\widehat{BMN}\quad \left(=\dfrac12s₫\mathop{BN}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$
$\Rightarrow \widehat{BEF}=\widehat{BMN}$
$\Rightarrow MN//EF$
Mặt khác:
$BCEF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{ECF}=\widehat{EBF}$
$\Rightarrow \widehat{ACN}=\widehat{ABM}$
$\Rightarrow \mathop{AN}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}$
$\Rightarrow AN = AM$
Ta lại có:
$ON = OM = R$
$\Rightarrow OA$ là trung trực của $MN$
$\Rightarrow OA\perp MN$
mà $MN//E\quad (cmt)$
nên $OA\perp EF$
b) Ta có $∆ABE\sim ∆ACF\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$
Lại có: $\widehat{BAC}:$ chung
$\Rightarrow ∆AEF\sim ∆ABC\, (c.g.c)$
$\Rightarrow \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AF}{AC}\right)^2 =\cos^2\widehat{A}$
$\Rightarrow \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} =\cos^260^o = \dfrac14$
$\Rightarrow \dfrac{S_{AEF}}{S_{BCEF}}=\dfrac13$
c) Kẻ đường kính $AD$, lấy $I$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^o$ (cùng nhìn đường kính $AD$)
$\Rightarrow BD\perp AB;\, CD\perp AC$
mà $CH\perp AB;\, BH\perp AC$
nên $BD//CH;\, CD//BH$
$\Rightarrow BHCD$ là hình bình hành
$\Rightarrow I$ là trung điểm $HD$
$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của $∆AHD$
$\Rightarrow AH = 2OI$
$\Rightarrow AH$ có độ dài không đổi
Xét $∆AEH$ vuông tại $E$
Kẻ đường cao $EK$ trung tuyến $EP$
Trong $∆EKP$ vuông tại $K$ luôn có:
$EK\leq EP$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}AH.EK \leq \dfrac12AH.EP$
$\Rightarrow S_{AEH}\leq \dfrac12AH.EP$
$\Rightarrow \max S_{AEH}=\dfrac12AH.EP \Leftrightarrow EK = EP$
$\Leftrightarrow K\equiv P$
$\Leftrightarrow ∆AEH$ vuông cân tại $E$
$\Rightarrow \widehat{HAE}=\widehat{HAC}=45^o$
$\Rightarrow \widehat{ACB}=45^o$
Vậy $S_{AEH}$ lớn nhất khi $A \in \mathop{BAC}\limits^{\displaystyle\frown}$ sao cho $\widehat{ACB}=45^o$
