Đáp án:
b) \(BD = CD = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Giải thích các bước giải:
a) Xét tam giác ABC có: \(OC = \dfrac{1}{2}AB = R\)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C (Định lí đường trung tuyến).
\( \Rightarrow AC \bot BC\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \(DB = DC\) (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \Delta DBC\) cân tại D.
Lại có \(DO\) là phân giác của góc \(\widehat {BDC}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow DO\) là trung trực của \(BC\).
\( \Rightarrow DO \bot BC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DO\parallel AC\).
b) Do DO // AC
\( \Rightarrow \widehat {BOD} = \widehat {BAC} = {30^0}\)
Xét tam giác OBD vuông tại B có \(\widehat {BOD} = {30^0}\)
\( \Rightarrow BD = \dfrac{1}{2}OD\) (cạnh đối diện với góc \({30^0}\) bằng nửa cạnh huyền)
\( \Rightarrow OD = 2BD\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBD có:
\(\begin{array}{l}O{B^2} + B{D^2} = O{D^2}\\{2^2} + B{D^2}\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {2BD} \right)^2}\\4 + B{D^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4B{D^2}\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3B{D^2}\\B{D^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{4}{3}\\BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
Vậy \(BD = CD = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
