Giải thích các bước giải:
a. Vì CM, CA là 2 tiếp tuyến của (O) kẻ từ C
-> CM=CA
Vì DM, DB là 2 tiếp tuyến của (O) kẻ từ D
-> DM=DB
Ta có: CM+DM=DC
-> AC+BD=DC (đpcm)
Vì CA=CM , OA=OM
-> OC là đường trung trực của AM
mà tam giác OAM cân tại O (OM=OA)
-> OC là đường phân giác
-> 2. góc COM= góc AOM
Vì DM=DB , OB=OM
-> OD là đường trung trực của BM
mà tam giác OBM cân tại O (OM=OB)
-> OD là đường phân giác
-> 2. góc DOM= góc BOM
góc AOM+ góc BOM=180
<-> 2. góc COM + 2. góc DOM=180
<-> góc DOC=90
-> tam giác DOC vuông tại O (đpcm)
b. Tam giác DOC vuông tại O có đường cao OM
-> Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
-> OM²=MC.MD
-> R²=AC.BD (đpcm)
c. Gọi E là trung điểm của CD
Tam giác OCD vuông tại O có đường trung tuyến OE
-> OE=CE=DE
-> E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC hay đường tròn đường kính DC
Vì DB=DM -> tam giác DMB cân ở D mà DO là đường trung trực
-> DO là đường phân giác
-> góc MDO= góc BDO
mà góc EOD = góc EDO ( tam giác ODE cân ở E)
-> góc BDO= góc EOD
mà góc BDO + góc DOB =90
-> góc EOD + góc DOB =90
<-> gó EOB =90
-> OE⊥AB
-> AB là tiếp tuyến của (E)
hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DC (đpcm)
d. góc OMC + góc OAC = 90+90=180
-> OMCA là tứ giác nội tiếp -> góc MOA+góc MCA=180
Vì OM=BM=OB=R
-> tam giác OBM đều
-> góc MOB=60 -> góc AOM =180-60=120
-> góc MCA=180-120=60
mà tam giác ACM cân ở C (CA=CM)
-> tam giác ACM đều
Tam giác AMB vuông ở M
-> AM²=AB²-BM²=(2R)²-R²=3R² -> AM=R√3
-> AM=CM=CA=R√3
Gọi F là trung điểm của MA -> CF⊥MA
AF=$\frac{AM}{2}$ =$\frac{R√3}{2}$
Tam giác ACF vuông tại F -> CF²=AC²-AF²=$\frac{9R²}{4}$
-> CF=$\frac{3R}{2}$
-> $S_{ABC}$ =$\frac{1}{2}$ .CF.AM=$\frac{1}{2}$ .$\frac{3R}{2}$.R√3=$\frac{3√3R^2}{4}$
