Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) $ΔABC$ vuông tại $B$ đường cao $BM$ nên:
có hệ thức lượng $: AM.AC = AB² (1)$
$ΔABD$ vuông tại $B$ đường cao $BN$ nên:
có hệ thức lượng $: AN.AD = AB²(2)$
Bắc cầu $ (1); (2) ⇒ AM.AC = AN.AD (đpcm)$
b) Dễ thấy $: IK = \dfrac{1}{2}$
$ ⇒ S_{AIK} = \dfrac{1}{2}S_{ACD}$
$ = \dfrac{1}{4}AB.CD = R\dfrac{BC + CD}{2}$
$ ≥ R\sqrt{BC.BD} = R\sqrt{AB²} = 2R²$ (Cô si)
$ ⇒ S_{AIKmin} = 2R² ⇒ BC = BD ⇔ MN⊥AB$
c) Dễ thấy $∠AMN = ∠ ABN = ∠BDN$
$ ⇒ MNDC nt ⇒ $ tâm đường tròn $(MNC)$
cũng là tâm đường tròn $(MNDC)$
Gọi $P$ là trung điểm $CD$. Trung trực đoạn
$CD$ giao trung trực đoạn $MN$ tại $Q ⇒ OA//PQ$
Mặt khác $AP$ là trung tuyến thuộc cạnh huyền $CD (3)$
$ ⇒ ΔACP$ cân tại $P ⇒∠PAC =∠PCA = ∠ANM$
$ ⇒ AP⊥MN $mà $OQ⊥MN ⇒ AP//OQ (4)$
$ (3); (4) ⇒ OAPQ$ là hbh ⇒ PQ = OA = R$ không đổi
$ ⇒ $ Tâm $Q$ của đường tròn $(MNC)$ luôn thuộc
đường thẳng $d'//d$ thuộc nửa mp bờ $d$
không chứa $(O)$và cách $d$ một đoạn $R$