1) Xét (O): NI=IM (gt)
=> OI vuông góc với MN (q.hệ đg kính và dây)
Xét AIOC: góc OIA = góc OCA =90 (gt ;cmt)
=> góc OIA + góc OCA =180
=> AIOC nội tiếp đg tròn, đ. kính OA (tổng 2 góc đối =180)
2)Xét (O): OB=OC=R
AB=AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=> OA là đg trung trực của BC
=> OA vuông góc với BC tại H
Xét Δ OBA vuông tại B, đg cao BH
=> AB^2 = AH . AO (hệ thức lượng) (1)
xét Δ BAM và Δ NAB
góc BAN chung
góc MBA= góc BNM (cùng chắn cung BM)
=>Δ BAM ~ Δ NAB ( g-g )
=> tỉ số => AB^2 = AM. AN (2)
Từ (1) và (2) => AH.AO = AM.AN (cùng = AB^2)
=> AH/AN = AM/AO
xét Δ HAM và Δ NAO
AH/AN = AM/AO (cmt)
góc NAO chung
=>Δ HAM ~ Δ NAO (c-g-c)
=> góc AHM = góc ANO (2 góc tương ứng)
=> MNOH nội tiếp (góc ngoài = góc đối trong)
=> góc OHN = góc OMN (cùng chắn cung ON)
3) Gọi K là giao điểm của BH và NA
Δ OMN cân tại O (ON=OM=R)
=> góc MNO= góc OMN
Mà góc MNO= góc AHM (cmt) ; góc OMN= góc OHN (cmt)
=> góc OHN= góc AHM
ta có góc OHB = góc BHA =90
<=> góc OHN + góc NHB= góc AHM+ góc MHB
=> góc NHB= góc MHB (góc OHN= góc AHM (cmt) )
=> HK là tia phân giác góc NHM
=> HM/HN = KM/KN (tính chất phân giác trong)
có HA vuông góc với HK => HA là tia phân giác ngoài góc đỉnh H
=> HM/HN= AM/AN (tính chất phân giác ngoài)
=>KM/KN = AM/AN (cùng = HM/HN )
ta có BN // FM (gt)=> KM/KN = FM/BN (Đ/Lí Ta-lét)
ta có BN // ME (gt)=>AM/AN = ME/BN (Đ/Lí Ta-lét)
=>ME/BN=FM/BN
=> ME=FM
=> M là trung điểm của EF
