$\text{a, Xét (O) có: }$
$\text{+AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm (gt) ⇒ OB⊥AB ⇒ $\widehat{ABO}=90°$}$
$\text{+AC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm (gt) ⇒ OC⊥AC ⇒ $\widehat{ACO}=90°$}$
$\text{Xét tứ giác ABOC có: $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90°+90°=180°$}$
$\text{Mà hai góc này ở vị trí đối nhau }$
$\text{⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA}$
$\text{b, Xét (O) có: }$
$\text{$\widehat{ACD}=\frac{1}{2}sđ\overparen{CD}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến AC và dây CD)}$
$\text{$\widehat{DEC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{CD}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{CD}$)}$
$\text{⇒ $\widehat{ACD}=\widehat{DEC}$}$
$\text{Hay $\widehat{ACD}=\widehat{AEC}$}$
$\text{Xét ΔACD và ΔAEC có:}$
$\text{$\widehat{ACD}=\widehat{AEC}$ (cmt)}$
$\text{$\widehat{EAC}$ :góc chung}$
$\text{⇒ ΔACD ~ ΔAEC (g.g)}$
$\text{⇒ $\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AC}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)}$
$\text{⇒ AC²=AD.AE (1)}$
$\text{Hay 6²=AD.9}$
$\text{⇔ 36=AD.9}$
$\text{⇔ AD=4 (cm)}$
$\text{⇒ DE=AE-AD=9-4=5 (cm)}$
$\text{c, Xét (O) có:}$
$\text{AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A}$
$\text{B, C là hai tiếp điểm}$
$\text{⇒ AB=AC, AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)}$
$\text{Xét ΔABC có: AB=AC (cmt)}$
$\text{⇒ ΔABC cân tại A}$
$\text{AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)}$
$\text{⇒ AO⊥BC}$
$\text{Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔACO vuông tại C ($\widehat{ACO}=90°$), CI⊥AO (AO⊥BC) có:}$
$\text{AC²=AI.AO (2)}$
$\text{Từ (1) và (2)⇒ AD.AE=AI.AO⇒$\frac{AD}{AO}=\frac{AI}{AE}$}$
$\text{Xét ΔADI và ΔAOE có:}$
$\text{$\frac{AD}{AO}=\frac{AI}{AE}$ (cmt)}$
$\text{$\widehat{OAE}$: góc chung}$
$\text{⇒ ΔADI ~ ΔAOE (c.g.c)}$
