a) Từ $A$ kẻ đường kính $CD$
$\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{CAD}=90^o$ (cùng nhìn đường kính $CD$)
$\Rightarrow BD\perp BC;\, AD\perp AC$
mà $AH\perp BC;\, BH\perp AC\quad (AE\perp BC;\, BF\perp AC)$
nên $BD//AH;\, AD//BH$
$\Rightarrow BHAD$ là hình bình hành
Gọi $M$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow M$ là trung điểm $HD$
Ta lại có $O$ là trung điểm $CD$ ($CD$ là đường kính của $(O)$)
$\Rightarrow CH = 2OM;\, OM//CH$ (đường trung bình)
mà $O,M$ cố định
$\Rightarrow OM$ không đổi
$\Rightarrow CH$ không đổi
b) Ta có:
$∆CBF\sim ∆CAE\, (\widehat{F}=\widehat{E}=90^o;\, \widehat{C}:\, chung)$
$\Rightarrow \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{CF}{CE}$
$\Rightarrow \dfrac{CE}{AC}=\dfrac{CF}{BC}$
Lại có: $\widehat{C}:$ góc chung
$\Rightarrow ∆CEF\sim ∆CAB\, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{CEF}=\widehat{CAB}$
Mặt khác:
$\widehat{OCE}=\widehat{DCB}=\widehat{DAB}$ (cùng chắn $\mathop{BD}\limits^{\displaystyle\frown}$)
Do đó:
$\widehat{CEF}+\widehat{OCE}=\widehat{CAB}+\widehat{DAB}=\widehat{CAD}=90^o$
$\Rightarrow OC\perp EF$
c) Ta có:
$OM=\dfrac{1}{2}CH;\, OM//CH$ (câu a)
Gọi $K$ là điểm đối xứng của $O$ qua $M$
$\Rightarrow OK = 2OM;\, K$ cố định
$\Rightarrow OK=CH;\, OK//CH$
$\Rightarrow OKHC$ là hình bình hành
$\Rightarrow KH\perp EF\quad (OC\perp EF:\, câu\,\,b)$
Mặt khác:
Xét đường tròn $(H;HC)$ có:
$HE\perp CQ\quad (AE\perp BC)$
$HF\perp CP\quad (BF\perp AC)$
$\Rightarrow CE = EQ;\, CF = FP$ (định lý đường kính - dây cung)
$\Rightarrow EF//PQ$ (đường trung bình)
mà $KH\perp EF\quad (cmt)$
$\Rightarrow KH\perp PQ$
$\Rightarrow$ đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $PQ$ luôn đi qua điểm cố định $K$ là điểm đối xứng với $O$ qua $AB$
