Đáp án + giải thích các bước giải:
a) `I` là trung điểm của `BC`
`->OI⊥BC `
`->ΔOIA` vuông tại `I`
`->I` thuộc đường ngoại tiếp `ΔOIA `
`->I` thuộc đường tròn đường kính `OA`
Tương tự với `ΔOMA` và `ΔONA`
`->O,N,A,M,I` cùng thuộc đường tròn đường kính `OA`
b) Ta có:
`\hat{ACM}=1/2 sđ \stackrel\frown{MB}` (góc nội tiếp)
`\hat{AMB}=1/2 sđ \stackrel\frown{MB}` (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
`->\hat{ACM}=\hat{AMB}`
mà `\hat{CAM}=\hat{MAB}`
`->ΔAMC~ΔABM(gg)`
`->(AM)/(AB)=(AC)/(AM)`
`->AM^2=AB.AC`
c) Ta có:
`N,A,M,I` cùng thuộc đường tròn đường kính `OA `
`->NAMI` là tứ giác nội tiếp
`->\hat{IAM}=\hat{INM}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `IM`)
mà `\hat{IAM}=\hat{IBE}` (hai góc ở vị trí đồng vị mà `EB////MA`)
`->\hat{INM}=\hat{IBE} `
`->IEBN` là tứ giác nội tiếp
`->\hat{EIB}=\hat{ENB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `EB`)
mà `\hat{MCB}=\hat{ENB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `MB`)
`->\hat{EIB}=\hat{MCB}`
mà hai góc này ở vị trí đồng vị
`->MC////EI`
d) `ΔMBC` có `G` là trong tâm và `MI` là trung tuyến
`-> M,I,G` thẳng hàng và `(MG)/(MI)=2/3`
Gọi `P` là trung điểm `OA` mà `O,A` cố định
`->P` cố định
`ΔOMA` vuông tại `M` và `ΔOIA` vuông tại `I` mà `P` là trung điểm `OA`
`->IP=MP=(OA)/2`
Qua `G` kẻ đường thẳng `d'` song song với `PI` cắt `MP` tại `Q`, ta có:
`(MQ)/(MI)=(MQ)/(MP)=(MG)/(MI)=2/3` mà `P,M` cố định
`->Q` cố định `(1)`
Ta có: `(GQ)/(IP)=(MG)/(MI)=2/3`
`->GQ=2/3 . IP=2/3 . (OA)/2=(OA)/3` (không đổi) `(2)`
Từ `(1)` và `(2) ->G∈(Q;(OA)/3)`
