Giải thích các bước giải:
a, Gọi P là trung điểm của OM thì OP = PM = $\frac{OM}{2}$ (1)
ΔOAM vuông tại A có AP là trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ AP = $\frac{OM}{2}$ (2)
ΔOBM vuông tại B có BP là trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ BP = $\frac{OM}{2}$ (3)
ΔOHM vuông tại H có HP là trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ HP = $\frac{OM}{2}$ (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: OP = PA = PM = PH = PB = $\frac{OM}{2}$
⇒ 5 điểm: O, A, M, B, H cùng thuộc đường tròn (P; $\frac{OM}{2}$) (đpcm)
b, Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì MA = MB
mà OA = OB ⇒ OM là trung trực của AB
⇒ OM ⊥ AB (đpcm) ⇒ AI là đường cao của ΔOAM
ΔOAM vuông tại A có AI là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
$OA^{2}$ = OI.OM hay OI.OM = $R^{2}$ (đpcm)
c, ΔOKI và ΔOMH có:
$\widehat{O}$ chung; $\widehat{OIK}$ = $\widehat{OHM}$
⇒ ΔOKI đồng dạng với ΔOMH
⇒ $\frac{OI}{OK}$ = $\frac{OH}{OM}$
⇒ OI.OM = OH.OK (đpcm)
d, Để OAEB là hình thoi thì AE = EB = R
⇔ ΔOAE đều hay $\widehat{AOM}$ = $60^{o}$
⇔ OM = $\frac{OA}{cos60^{o}}$ = 2.OA = 2.R
Vậy M ∈ d sao cho OM = 2.R thì tứ giác OAEB là hình thoi.