Giải thích các bước giải:
a. Ta có $SA=SB$ (vì SA,SB là tiếp tuyến của (O))
$OA=OB$ (=R)
$\to SO $ là đường trung trực của $AB\to SO\perp AB\to\widehat{SHE}=90^o$
Do I là trung điểm MN$\to OI\perp MN\to\widehat{SIE}=90^o$
Tứ giác $SHIE$ có $\widehat{SHE}$ và $\widehat{SIE}$ cùng nhìn cạnh SE một góc $90^o$
Vậy tứ giác IHSE nội tiếp đường tròn đường kính (SE)
b. Xét $\Delta OHI$ và $\Delta OES$ có:
$\widehat O$ chung
$\widehat{OHI}=\widehat{OES}$ (cùng bù với $\widehat{SHI}$)
$\to\Delta OHI\sim\Delta OES(g.g)$
$\to \dfrac{OI}{OS}=\dfrac{OH}{OE}\to OI.OE=OH.OS$
c. Xét $\Delta SAO\bot A,AH\bot SO$ theo hệ thức lượng ta có:
$AO^2= OH.OS =R^2\to OI.OE=R^2$
d. Áp dụng định lý Pitogo vào $\Delta OIM\bot I$
có $OM=R,IM=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{R\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow OI^2=OM^2-IM^2=\dfrac{R^2}{4}\Rightarrow OI=\dfrac{R}{2}$
Theo câu c $OI.OE=R^2$
$\Rightarrow OE=\dfrac{R^2}{OI}=2R$
$\Rightarrow EI=OE-OI=\dfrac{3R}{2}$
Áp dụng định lý pitago vào $\Delta SOI\bot I, SO=2R,OI=\dfrac{R}{2}$
$SI^2=SO^2-OI^2=\dfrac{15R^2}{4}\Rightarrow SI=\dfrac{R\sqrt{15}}{2}$
$\Rightarrow SM=SI-MI=\dfrac{R\sqrt{15}}{2}-\dfrac{R\sqrt3}{2}=\dfrac{R(\sqrt{15}-\sqrt3)}{2}$
$S_{\Delta ESM}=\dfrac{EI.SM}{2}$
$=\dfrac{\dfrac{3R}{2}.\dfrac{R(\sqrt{15}-\sqrt3)}{2}}{2}$
$=\dfrac{3R^2(\sqrt{15}-\sqrt3)}{8}$.
