1, Xét (O) có: 

+ SC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm (gt) ⇒ SC ⊥ OC ⇒$\widehat{SCO}=90°$

+ SD là tiếp tuyến, D là tiếp điểm (gt) ⇒ SD ⊥ OD ⇒ $\widehat{SDO}=90°$

+ AB là dây không đi qua tâm, H là trung điểm của AB (gt)

⇒ OH ⊥ AB ⇒ OH ⊥ SB ⇒ $\widehat{SHO}=90°$

Có $\widehat{SCO}=\widehat{SDO}=\widehat{SHO}=90°$

⇒ Ba điểm C, D, H cùng nhìn SO dưới một góc vuông

⇒ Ba điểm C, D, H cùng thuộc đường tròn đường kính SO

⇒ Năm điểm C, D, H, O, S cùng thuộc đường tròn đường kính SO

2, Gọi giao điểm của SO và CD là I

Áp dụng định lí Pytago vào ΔSDO vuông tại D ($\widehat{SDO}=90°$) có:

SO²=SD²+DO²

Hay (2R)²=SD²+R²

⇒ SD²=(2R)²-R²=4R²-R²=3R²

⇒ $SD=R\sqrt{3}$ (vì SD>0)

Xét (O) có: 

SC, SD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại S

C, D là hai tiếp điểm 

⇒ SO là phân giác $\widehat{CSD}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ $\widehat{CSD}=2\widehat{OSD}$

Áp dụng hệ thức lượng giác trong ΔSOD vuông tại D ($\widehat{SDO}=90°$) có:

$sin\widehat{OSD}=\frac{OD}{OS}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$ 

⇒ $\widehat{OSD}=30°$

Mà $\widehat{CSD}=2\widehat{OSD}$ (cmt)

⇒ $\widehat{CSD}=2.30°=60°$

Xét đường tròn đường kính SO có: Bốn điểm S, C, O, D cùng thuộc đường tròn đường kính SO (cmt)

⇒ Tứ giác SCOD nội tiếp đường tròn đường kính SO

⇒ $\widehat{CSD}+\widehat{COD}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Hay $60°+\widehat{COD}=180°$

⇒$\widehat{COD}=180°-60°=120°$

Xét (O) có : $\widehat{COD}$ là góc ở tâm chắn $\overparen{CD}$

⇒ $\widehat{COD}=sđ\overparen{CD}=120°$

c, AK // SC (gt)

⇒ $\widehat{KAH}=\widehat{CSH}$ (hai góc đồng vị)

Xét đường tròn đường kính SO có:

$\widehat{CSH}=\widehat{CDH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{CH}$

Mà $\widehat{KAH}=\widehat{CSH}$ (cmt)

⇒ $\widehat{KAH}=\widehat{CDH}$ Hay $\widehat{KAH}=\widehat{KDH}$

Xét tứ giác ADHK có $\widehat{KAH}=\widehat{KDH}$ (cmt)

Hai đỉnh A và D kề nhau cùng nhìn KH dưới hai góc α bằng nhau

⇒ Tứ giác ADHK nội tiếp

⇒ $\widehat{ADK}=\widehat{AHK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AK}$)

Hay $\widehat{ADC}=\widehat{AHK}$

Gọi giao điểm của BK và SC là M, giao điểm của AK và BC là N

Xét (O) có: $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AC}$)

Mà $\widehat{ADC}=\widehat{AHK}$ (cmt)

⇒ $\widehat{AHK}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị do AB cắt HK và BC

⇒ HK // BC

Xét ΔABN có: 

H là trung điểm của AB (cmt)

HK // BN (HK // BC)

⇒ HK là đường trung bình của ΔABN

⇒ K là trung điểm của AN 

Xét ΔBMS có: AK // MS ( AK // SC)

⇒ $\frac{AK}{MS}=\frac{BK}{BM}$ (hệ quả định lí Talet)

Xét ΔBMC có: NK // MC ( AK // SC)

⇒ $\frac{NK}{MC}=\frac{BK}{BM}$ (hệ quả định lí Talet)

Mà $\frac{AK}{MS}=\frac{BK}{BM}$ (cmt)

⇒ $\frac{AK}{MS}=\frac{NK}{MC}$

Mà AK = NK (K là trung điểm của AN)

⇒ MS = MC

⇒ M là trung điểm của SC

⇒ BK đi qua trung điểm M của SC