a) Ta có đường thẳng qua A vuông góc với EF tại D nên $AD\bot EF\Rightarrow \widehat{ODI}=90^o$
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B nên $\widehat{OBI}=90^o$
Tứ giác $ODIB$ có: $\widehat{ODI}+\widehat{OBI}=180^o$
$\Rightarrow ODIB$ nội tiếp đường tròn đường kính (OI)
Hay $O, D, I, B$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác $AEBF $ có:
$\widehat{EAF}=\widehat{AEB}=\widehat{EBF}=\widehat{AFB}=90^o$ (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow AEBF$ là hình chữ nhật
c) Ta có $\widehat{AFE}=\widehat{ABE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE của (O))
$\widehat{ABE}=\widehat{AMN}$ (cùng phụ $\widehat{EAB}$)
Từ hai điều trên suy ra $\widehat{AFE}=\widehat{AMN}$
$\Rightarrow\Delta AFE\sim\Delta AMN$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AE}{AN}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow AF.AN=AE.AM$
d) Ta có: $\widehat{AFE}=\widehat{AMN}$ (chứng minh trên)
$AD\bot EF\Rightarrow\Delta ADF\bot D\Rightarrow\widehat{AFE}+\widehat{IAN}=90^o$
$\Delta AMN\bot A\Rightarrow \widehat{AMN}+\widehat{INA}=90^o$
Từ hai điều trên suy ra $\widehat{IAN}=\widehat{INA}\Rightarrow\Delta IAN$ cân đỉnh $I$
$\Rightarrow IA=IN$ (*)
Chứng minh tương tự $\widehat{M}=\widehat{IAM}$ do cùng phụ hai góc bằng nhau $\widehat{INA}=\widehat{IAN}$
$\Rightarrow\Delta IAM$ cân đỉnh I nên $IM=IA$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $IM=IN\Rightarrow I$ là trung điểm cạnh $MN$
e) Kẻ $FK\bot MN$
$MA\bot FN$ kéo dài $MA$ cắt $FK$ tại $H$
$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta FMN$
Ta có: $AH//BF$ do cùng $\bot AF$
$AB//FH$ do cùng $\bot MN$
$\Rightarrow ABFH$ là hình bình hành $\Rightarrow AB=HF=2R$
Lấy O' đối xứng với O qua A nên $OO'=2R$ cố định
$\Rightarrow FH=OO'=2R$ và $OO'//HF$
$\Rightarrow OO'HF$ là hình bình hành nên $O'H=OF=R$
$\Rightarrow H$ thuộc đường tròn tâm $(O',R)$
$\Rightarrow $ trực tâm của $\Delta FMN$ thuộc đường tròn $(O',R)$ trong đó $O'$ đối xứng với $O$ qua $A$ cố định.
