a) Do $M$ là điểm chính giữa $\overparen{AB}$ lớn
⇒ $N$ là điểm chính giữa $\overparen{AB}$ nhỏ
⇒ $MN\perp AB$
⇒ $\widehat{MIA} = 90^o$ hay $\widehat{MIF} = 90^o$
Bên cạnh đó, $\widehat{MEN} = 90^o$ (nhìn đường kính $MN$)
hay $\widehat{MEF} = 90^o$
Xét tứ giác $MEFI$ có:
$\widehat{MIF} + \widehat{MEF} = 180^o$
Do đó $MEFI$ là tứ giác nội tiếp
b) Ta có: $MEAB$ là tứ giác nội tiếp (4 điểm $M,E,A,B$ cùng thuộc $(O)$)
⇒ $\widehat{CEA} = \widehat{MBA}$ (cùng bù $\widehat{MEA}$)
mà $\widehat{MBA} = \widehat{MEB}$ $(\overparen{MB} = \overparen{MA})$
nên $\widehat{CEA} = \widehat{MEB}$
c) Xét $ΔCEA$ và $ΔCBM$ có:
$\widehat{MCB}:$ góc chung
$\widehat{CEA} = \widehat{CBM}$ (cùng bù $\widehat{MEA}$)
Do đó $ΔCEA\sim ΔCBM \, (g.g)$
⇒ $\dfrac{CE}{CB}= \dfrac{CA}{CM}$
hay $CE.CM = CA.CB$ $(1)$
Xét $ΔCEF$ và $ΔCIM$ có:
$\widehat{MCI}:$ góc chung
$\widehat{CIM} = \widehat{CEF} = 90^o$
Do đó $ΔCEF\sim ΔCIM \, (g.g)$
⇒ $\dfrac{CE}{CI} = \dfrac{CF}{CM}$
hay $CE.CM = CI.CF$ $(2)$
Từ $(1)(2) ⇒ CE.CM = CF.CI = CA.CB$
