Lời giải:
a) Ta có:
$ABFE$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{ABF}=\widehat{MBF}$
Xét $\triangle MEA$ và $\triangle MBF$ có:
$\begin{cases}\widehat{M}:\ \text{góc chung}\\\widehat{MEA}=\widehat{MBF}\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle MEA\backsim \triangle MBF\ (g.g)$
$\Rightarrow\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{MA}{MF}$
$\Rightarrow MA.MB = ME.MF$
b) Xét $\triangle MCA$ và $\triangle MBC$ có:
$\begin{cases}\widehat{M}:\ \text{góc chung}\\\widehat{MCA}=\widehat{MBC}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{cases}$
Do đó: $\triangle MCA\backsim \triangle MBC\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MA}{MC}$
$\Rightarrow MC^2 = MA.MB\qquad (1)$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle OMC$ vuông tại $C$ đường cao $CH$ ta được:
$MC^2 = MH.MO\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow MA.MB = MH.MO$
$\Rightarrow\dfrac{MA}{MO}=\dfrac{MH}{MB}$
Xét $\triangle MAH$ và $\triangle MOB$ có:
$\begin{cases}\dfrac{MA}{MO}=\dfrac{MH}{MB}\quad (cmt)\\\widehat{M}:\ \text{góc chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle MAH\backsim \triangle MOB\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{MOB}$
$\Rightarrow AHOB$ là tứ giác nội tiếp
