a, ΔOBC cân tại O có OI là trung tuyến
⇒ OI cũng là đường cao hay OI ⊥ BC
⇒ $\widehat{AIC} = 90^o$
CH ⊥ AE ⇒ $\widehat{AHC} = 90^o$
$\widehat{AIC} = \widehat{AHC}=90^o$
I , H cùng nhìn cạnh AC dưới một góc $90^o$
⇒ Tứ giác AIHC nội tiếp đường tròn đường kính (AC)
⇒ A , I , H , C cùng thuộc đường tròn đường kính (AC) (đpcm)
b, A là điểm chính giữa $\stackrel\frown{BC}$ ⇒ sđ$\stackrel\frown{AB}$ = sđ$\stackrel\frown{AC}$
$\Delta ABC$ có $AI$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên $\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $AB=AC$
Xét $\Delta ACD$ và $\Delta AEC$ có:
$\widehat A$ chung
$\widehat{ACD}=\widehat{AEC} $ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
$\Rightarrow \Delta ACD\sim\Delta AEC$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AD}{AC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow AE.AD=AC^2=AB^2$
c, ΔCOI vuông tại I $⇒ \sin\widehat{COI}= \dfrac{CI}{OC} = \dfrac{\frac{BC}{2}}{OC}$
$= \dfrac{\frac{\sqrt[]{3}R}{2}}{R} = \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$
$⇒ \widehat{COI} = 60^o$
ΔCOA cân tại O (OA = OC = R) có $\widehat{COI} = 60^o$
⇒ ΔCOA đều ⇒ AC = OA = R
d, $S_{MAC}$ max ⇔ $\dfrac{1}{2}$.AH.MC max
Tứ giác ACIH nội tiếp ⇒ $\widehat{IHD}$ = $\widehat{ACI}$ = $\widehat{AEB}$
⇒ HI ║ EB ⇒ H là trung điểm của CM
⇒ $S_{MAC}$ = $\dfrac{1}{2}$.AH.MC = AH.CH ≤ $\dfrac{AH^2+CH^2}{2}=\dfrac{AC^2}2$
Dấu "=" xảy ra ⇔ AH = CH
⇔ ΔACH vuông cân tại H
⇔ $\widehat{HAC}$ = $45^o$ ⇔ $\widehat{EAC}$
⇒ Cách dựng điểm E:
Qua A dựng $\widehat{EAC}$ = $45^o$ (E ∈ (O))
