a) $CE$ là tiếp tuyến đường tròn $(O)$
$\Rightarrow \widehat{OCE}=90^o$
$AE$ là tiếp tuyên đường tròn $(O)$
$\Rightarrow \widehat{OAE}=90^o$
Tứ giác $OCEA$ có
$\widehat{OCE}+\widehat{OAE}=180^o$
$\Rightarrow OCEA$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OE)$
$\Rightarrow A,E,C,O$ cùng thuộc một đường tròn
b) $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(AB)$
$\Rightarrow \Delta ABC\bot C\Rightarrow AC\bot BD$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ ADB$ có đường cao $AC$
$\Rightarrow AB^2=BC.BD\Rightarrow BC.BD=(2R)^2=4R^2$
$EC,EA$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow EA=EC$ và $EO$ là tia phân giác $\widehat{CEA}$
$\Rightarrow \Delta ECA$ cân đỉnh $E$ có $EO$ là phân giác $EO$ cũng là đường cao
$\Rightarrow EO\bot AC$ mà $BD\bot AC$
$\Rightarrow EO\parallel BD$
c) $\Delta OCB$ có $OB=OC\Rightarrow \Delta OBC$ cân đỉnh $O$
Có $ON$ là đường cao $\Rightarrow ON$ cũng là phân giác
$\Rightarrow \widehat{COF}=\widehat{BOF}$
$OF$ chung
$OB=OC$
$\Rightarrow \Delta OCF=\Delta OBF$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{OBF}=\widehat{OCF}=90^o$
$\Rightarrow FB\bot OB$
$\Rightarrow FB$ là tiếp tuyến $(O)$
d) $M,N$ là trung điểm của $AC, BC\Rightarrow MN\parallel AB$
$AB\bot CH\Rightarrow MN\bot CH$ (1)
$\Delta CHB\bot H$ có $N$ là trung điểm của $CB$
$\Rightarrow HN=CN\Rightarrow \Delta CNH $ cân đỉnh $N$ mà $NM$ là đường cao của $CH$ nên $NM$ cũng là đường trung tuyến của $CH$
$\Rightarrow MN$ là đường trung trực của $CH$
$\Rightarrow \widehat{MHN}=\widehat{MCN}=\widehat{MON}=90^o$
$\Rightarrow \widehat{MHN}$ và $\widehat{MON}$ cùng nhìn $MN$ dưới một góc $90^o$
$\Rightarrow MBOH$ nội tiếp đường tròn $(MN)$
$\Rightarrow \Delta MNH$ nội tiếp đường tròn đường kính $(MN)$
Gọi $G=CO\cap MN\Rightarrow GO=GM=GN=GH$
$\Rightarrow$ đường tròn ngoại tiếp $\Delta MNH$ luôn đi qua điểm $O$ cố định.
