Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
a) Chứng minh \(\angle HKB + \angle BCH = {180^0}.\)
b) Chứng minh \(AK.AH = AB.AC\) mà \(AC.AB = {R^2}\)
c) Chứng minh \(\Delta MNI = \Delta MBK\)Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác \(BCHK\) là tứ giác nội tiếp.
Ta có: \(\angle AKB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); \(\angle BCH = {90^0}\left( {MC \bot AB} \right)\) Do đó \(\angle HKB + \angle BCH = {180^0}.\)
Vậy tứ giác \(BCHK\)nội tiếp (dhnb).
b) Chứng minh \(AH.AK = {R^2}.\)
Ta có: \(MC\)là đường trung trực của \(OA\) nên \(MA = MO\) và \(OM = OA = R,\) nên \(OM = OA = MA = R\)
\( \Rightarrow \Delta OAM\) đều \( \Rightarrow \angle MOA = {60^0}\)
Xét \(\Delta ACH\)và \(\Delta AKB\)có:
\(\begin{array}{l}\angle C = \angle K = {90^0}\\\angle A\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ACH\sim\Delta AKB\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AK}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AK.AH = AB.AC\)
Mặt khác tam giác \(AMB\)vuông tại M có \(MC\)là đường cao ứng với cạnh huyền nên \(AC.AB = M{A^2} = {R^2}\) (hệ thức lượng) .
Vậy \(AK.AH = {R^2}\)
c) Trên đoạn thẳng \(KN\) lấy điểm \(I\) sao cho \(KI = KM.\) Chứng minh \(NI = KB\).
Tứ giác \(OMAN\)có hai đường chéo \(OA\)và \(MN\)vuông góc nhau tại trung điểm C mỗi đường nên là hình thoi. Do đó \(\angle MON = 2\angle MOA = 120^\circ \)
Từ đó \(\angle MKN = \dfrac{1}{2}\angle MON = 60^\circ \) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(MN\))
Mặt khác \(MK = KI \Rightarrow \Delta MKI\)đều \( \Rightarrow MK = MI = KI\)
Ta có: \(BC\)là trung trực của \(MN\)nên \(BM = BN,\)và \(\angle MNB = \angle MAB = {60^0}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BM), do đó \(\Delta BMN\)đều, suy ra \(\angle BMN = {60^0},\,\,MB = MN\)
Ta có: \(\angle KMN = \angle KMB + \angle BMN = \angle KMB + {60^0}\,\,\,\left( 1 \right)\)
Lại có: \(\angle KMN = \angle NMI + \angle KMI = \angle NMI + {60^0}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) suy ra \(\angle KMB = \angle NMI,\)vì \(MN = MB,MI = MK\)nên \(\Delta MNI = \Delta MBK\,\,\left( {c - g - c} \right)\)
Suy ra \(NI = BK\) (điều phải chứng minh).
