Đáp án:
a) Ta có ˆACE=ˆACB=90oACE^=ACB^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒⇒ Tứ giác AICEAICE có: ˆACE+ˆAIE=180oACE^+AIE^=180o
⇒AICE⇒AICE nội tiếp đường tròn đường kính (AE)(AE).
b) Xét ΔIAFΔIAF và ΔIEBΔIEB có:
ˆFIA=ˆBIE=90oFIA^=BIE^=90o
ˆIFA=ˆIBEIFA^=IBE^ (cùng phụ ˆCABCAB^)
ΔIAF∼ΔIEBΔIAF∼ΔIEB (g.g)
⇒IAIE=IFIB⇒IAIE=IFIB
⇒IA.IB=IE.IF⇒IA.IB=IE.IF.
c) ΔAFBΔAFB có BC,FIBC,FI là hai đường cao E∈CB∩FI⇒EE∈CB∩FI⇒E là trực tâm ΔAFBΔAFB
⇒AE⊥FB⇒AE⊥FB (1)
ΔCEF⊥C⇒ΔCEFΔCEF⊥C⇒ΔCEF nội tiếp đường tròn đường kính (EF)
NN là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF và AE, nên N thuộc đường tròn (EF)
⇒C,E,N,F⇒C,E,N,F cùng thuộc đường tròn
⇒ˆENF=90o⇒ENF^=90o (góc nội tiếp chắn đường kính EF)
⇒EN⊥FN⇒EN⊥FN
NN là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF và AE nên N thuộc AE nên A, E, N thẳng hàng
hay ⇒AE⊥FN⇒AE⊥FN (2)
Từ (1) và (2) suy ra FN//FB⇒F,N,BFN//FB⇒F,N,B thẳng hàng
⇒ˆANB=90o⇒N∈(AB)⇒ANB^=90o⇒N∈(AB) hay N∈(O,R)N∈(O,R)
d) Gọi giao điểm của đường tròn tâm K và AB là M
Khi đó M thuộc đường tròn tâm K nên MEFA là tứ giác nội tiếp (K)
⇒ˆAFE=EMI⇒AFE^=EMI (cùng bù ˆAMEAME^)
ˆFIA=ˆMIEFIA^=MIE^
⇒ΔFIA∼ΔMIE(gg)⇒ΔFIA∼ΔMIE(gg)
⇒IFIM=IAIE⇒IFIM=IAIE
⇒IA.IM=IF.IE=IA.IB⇒IA.IM=IF.IE=IA.IB (câu b)
⇒IM=IB⇒M⇒IM=IB⇒M cố định ⇒AM⇒AM cố định
KA=KMKA=KM (cùng là bán kính (K)(K))
⇒K⇒K luôn nằm trên đường trung trực của AM.
