a) Ta có $AB$ là đường kính của đường tròn $(O)$
$BC$ là dây cung không đi qua tâm của đường tròn $(O)$
$\Rightarrow BC < AB$.
b) $C$ là 1 điểm thuộc đường tròn $(O)$
Ta có $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
$\Rightarrow \widehat{ACB} = 90^o \Rightarrow AC \bot BC$. (đpcm)
c) Ta có $M$ là trung điểm của $AC$
$\Rightarrow OM \bot AC$ (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).
Mà $OA = OC = R$
$\Rightarrow \Delta OAC $ cân tại $ O$.
Tam giác $OAC$ cân tại $O$ có đường cao đồng thời là đường trung tuyến $OM$
$\Rightarrow OM$ là đường phân giác của $ \widehat {AOC}$.
$\Rightarrow \widehat{ AOM }= \widehat{ COM}$.
Xét $\Delta APO $ và $\Delta CPO$ ta có:
$PO$ chung
$\widehat{ AOM} = \widehat{ COM}$ (cmt)
$OA = OC$ (=R)
$\Rightarrow \Delta APO = \Delta CPO$ (g-c-g)
$\Rightarrow \widehat {PAO} = \widehat{ PCO }$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow \widehat{PAO} = 90^o$
Hay $PA \bot AO$ hay $PA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
d) Ta có: $\widehat{QCB}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $BC$
$\widehat {CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$
$\widehat{ QCB} = \widehat{ CAB}$.
Mà $\widehat{HCB} = \widehat{ CAB}$ (cùng phụ với $\widehat{ CBA}$)
$\Rightarrow \widehat{ BCQ} = \widehat{ BCH} (= \widehat{ CAB}) $
$\Rightarrow\Delta HBC = \Delta QBC$ (cạnh huyền – góc nhọn).
$\Rightarrow CH = CQ $ (hai cạnh tương ứng).
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$ có:
$BC^2=AB^2-AC^2=5^2-4^2=9$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $\Delta ABC$ ta có:
\(\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{25}{144}\)
$\Rightarrow CH=2,4=CQ$
