a) Xét tứ giác $AHKB$ có:
$AH\perp HK$
$BK\perp HK$
Do đó $AHKB$ là hình thang vuông tại $H$ và $K$
Ta lại có:
$OC//AH//BK \, (OC\perp HK)$
$OA = OB = R$
$\Rightarrow CO$ là đường trung bình của hình thang
$\Rightarrow AH + BK = 2CO = 2R$ (không đổi)
b) Ta có: $\widehat{ACB} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta lại có: $\widehat{D} = 90^o$ $(CD\perp AB)$
$\Rightarrow \widehat{DCA} = \widehat{CBA}$ (cùng phụ $\widehat{DCB}$)
mà $\widehat{CBA} = \dfrac{1}{2}s₫\overparen{AC}$
$\widehat{ACH} = \dfrac{1}{2}s₫\overparen{AC}$
nên $\widehat{DCA} = \widehat{ACH}$
Xét $∆DCA$ và $∆HCA$ có:
$\widehat{D} = \widehat{H} = 90^o$
$\widehat{DCA} = \widehat{ACH} \, (cmt)$
$AC:$ cạnh chung
Do đó $∆DCA = ∆HCA$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow DA = AH;\, DC = CH$
Chứng minh tương tự, ta được:
$DB = BK;\, DC = CK$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆ABC$ vuông tại $C$ đường cao $CD$ ta được:
$CD^2 = DA.DB = AH.BK$
c) Ta có:
$CD = CH = CK$ (chứng minh ở câu b)
$\Rightarrow C$ là tâm đường tròn đường kính $HK$, các bán kính $CH, CK, CD$
Mặt khác:
$AH\perp CH$
$BK\perp CK$
$AB\perp CD$
Do đó đường tròn đường kính $HK$ luôn tiếp xúc với $AH, BK, AB$
d) Ta có $ABKH$ là hình thang vuông tại $H$ và $K$
$\Rightarrow S_{ABKH} = \dfrac{1}{2}(AH + BK).HK$
$= CO.2CD = 2R.CD$
Xét $∆CDO$ vuông tại $D$ luôn có:
$CD \leq CO$ (cạnh góc vuông $\leq$ cạnh huyền)
$\Rightarrow S_{ABKH} = 2R.CD \leq 2R.CO = 2R^2$
Vậy $\max S_{ABKH} = 2R^2 \Leftrightarrow CD = CO = R$
$\Leftrightarrow C$ là điểm chính giữa nửa đường tròn $AB$
