Đáp án:

$\begin{array}{l}
1)Dkxd:\left\{ \begin{array}{l}
a \ge 0\\
a \ne 1
\end{array} \right.\\
2)\\
E = \dfrac{{3a + \sqrt {9a}  - 3}}{{a + \sqrt a  - 2}} - \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  + 2}} + \dfrac{{\sqrt a  - 2}}{{1 - \sqrt a }}\\
 = \dfrac{{3a + 3\sqrt a  - 3}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  + 2}} - \dfrac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  - 1}}\\
 = \dfrac{{3a + 3\sqrt a  - 3 - \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right) - \left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{3a + 3\sqrt a  - 3 - a + 1 - a + 4}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{a + 3\sqrt a  + 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}}\\
3)E < 0\\
 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}} < 0\\
 \Rightarrow \sqrt a  - 1 < 0\\
 \Rightarrow \sqrt a  < 1\\
 \Rightarrow a < 1\\
Vay\,0 \le a < 1\\
4)a = 3 + 2\sqrt 2 \left( {tmdk} \right)\\
 \Rightarrow a = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^2}\\
 \Rightarrow \sqrt a  = \sqrt 2  + 1\\
 \Rightarrow E = \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}} = \dfrac{{\sqrt 2  + 1 + 1}}{{\sqrt 2  + 1 - 1}}\\
 = \dfrac{{\sqrt 2  + 2}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  + 1\\
5)E = \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}} = \dfrac{{\sqrt a  - 1 + 2}}{{\sqrt a  - 1}} = 1 + \dfrac{2}{{\sqrt a  - 1}}\\
E \in Z\\
 \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt a  - 1}} \in Z\\
 \Rightarrow \sqrt a  - 1 \in \left\{ { - 1;1;2} \right\}\left( {do:\sqrt a  - 1 \ge  - 1} \right)\\
 \Rightarrow \sqrt a  \in \left\{ {0;2;3} \right\}\\
 \Rightarrow a \in \left\{ {0;4;9} \right\}\\
6)E = 1 + \dfrac{2}{{\sqrt a  - 1}}\\
\sqrt a  - 1 \ge  - 1\\
 \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt a  - 1}} \le \dfrac{2}{{ - 1}} =  - 2\\
 \Rightarrow 1 + \dfrac{2}{{\sqrt a  - 1}} \le 1 - 2 =  - 1\\
 \Rightarrow E \le  - 1\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{E} \ge  - 1\\
 \Rightarrow GTNN:\dfrac{1}{E} =  - 1\,khi:x = 0
\end{array}$