Đáp án:
Câu 9: $\dfrac{\sqrt[]{5}}{5}$
Câu 10: $\sqrt[]{5}-1$
Giải thích các bước giải:
Câu 9:
$\dfrac{\sqrt[]{3+\sqrt[]{5}}-\sqrt[]{3-\sqrt[]{5}}}{\sqrt[]{3+\sqrt[]{5}}+\sqrt[]{3-\sqrt[]{5}}}$
$=\dfrac{(\sqrt[]{3+\sqrt[]{5}}-\sqrt[]{3-\sqrt[]{5}})^2}{(\sqrt[]{3+\sqrt[]{5}}+\sqrt[]{3-\sqrt[]{5}})(\sqrt[]{3+\sqrt[]{5}}-\sqrt[]{3-\sqrt[]{5}})}$
$=\dfrac{3+\sqrt[]{5}+3-\sqrt[]{5}-2\sqrt[]{3^2-(\sqrt[]{5})^2}}{(3+\sqrt[]{5})-(3-\sqrt[]{5})}$
$=\dfrac{6-2\sqrt[]{9-5}}{2\sqrt[]{5}}$
$=\dfrac{6-2.2}{2\sqrt[]{5}}$
$=\dfrac{\sqrt[]{5}}{5}$
Câu 10:
Đặt $A=\sqrt[]{2+\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}}-\sqrt[]{2-\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}}$
Ta có: $(\sqrt[]{2+\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}})^2=2+\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}$
$(\sqrt[]{2-\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}})^2=2-\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}$
Vì $2+\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}>2-\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}$ nên $\sqrt[]{2+\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}}>\sqrt[]{2-\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}}$
$→ \sqrt[]{2+\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}}-\sqrt[]{2-\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}}>0$ hay $A>0$
$A^2=(\sqrt[]{2+\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}}-\sqrt[]{2-\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}})^2$
$=2+\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}+2-\sqrt[]{2\sqrt[]{5}-2}-2\sqrt[]{2^2-(2\sqrt[]{5}-2)}$
$=4-2\sqrt[]{6-2\sqrt[]{5}}$
$=4-2\sqrt[]{(\sqrt[]{5})^2-2\sqrt[]{5}.1+1^2}$
$=4-2\sqrt[]{(\sqrt[]{5}-1)^2}$
$=4-2|\sqrt[]{5}-1|$
$=4-2(\sqrt[]{5}-1)$
$=6-2\sqrt[]{5}$
$=(\sqrt[]{5}-1)^2$
Vì $A>0$ nên $A=\sqrt[]{5}-1$
