Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ f(x) = ax^{4} + bx³ + cx² + dx + e$
$f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d$
Căn cứ đồ thị : $ e = f(0) = 0$
$ f(-1) = a - b + c - d + e = a - b + c - d = 1 (1)$
$ f(1) = a + b + c + d + e = a + b + c + d = 1 (2)$
Vì hs đạt cực đại tại $ x = - 1; x = 1 $ nên:
$ f'(-1) = - 4a + 3b - 2c + d = 0 (3)$
$ f'(1) = 4a + 3b + 2c + d = 0 (4)$
Giải hệ $(1);(2); (3); (4) : ⇒ a = -1; b = 0; c = 2; d = 0$
Vậy $f(x) = 2x² - x^{4} ≤ 1$ với $∀x ∈ R$ ( căn cứ đồ thị)
Đặt $ t = \sqrt[]{f(x)} ⇒ 0 ≤ t ≤ 1 (5)$
$⇒ f(\sqrt[]{f(x)}) + f(x) + 2 \sqrt[]{f(x)} - 1 = 0 (*)$
$ ⇔ f(t) + t² + 2t - 1 = 0$
$ ⇔ 2t² - t^{4} + t² + 2t - 1 = 0$
$ ⇔ - t^{4} + 3t² + 2t - 1 = 0 (**) $
Đặt $g(t) = - t^{4} + 3t² + 2t - 1 $
$ ⇒ g'(t) = - 4t³ + 6t + 2 > 0 $ với $∀t ∈ [0;1]$
$ ⇒ g(t)$ đồng biến trên đoạn $[0;1]$
Mà $g(0).g(1) = - 1.3 = - 3 < 0 $
$⇒ (**)$ có nghiệm duy nhất $t = t_{0} ∈ [0; 1]$ ( thỏa $(5)$)
$⇒ (*) ⇔ \sqrt[]{f(x)} = t_{0} ⇔ 2x² - x^{4} = t_{0}² < 1$
Căn cứ vào đồ thị thì đường thẳng $y = t_{0}²$
cắt đồ thị hàm $f(x) = 2x² - x^{4}$ tại $4$ điểm
Vậy số nghiệm của $PT$ là $4$ nghiệm
