Đáp án: $m\le-\dfrac16$
Giải thích các bước giải:
Để $f(x)<0$
$\to x^2+2mx+2m-3<0$
$\to x^2+2m(x+1)-3<0$
$\to 2m(x+1)<-x^2+3$
Mà $x\in (-1, 2)\to -1<x<2\to 0<x+1<3$
$\to 2m<\dfrac{-x^2+3}{x+1}$
Xét hàm số $y=\dfrac{-x^2+3}{x+1}$
$\to y+\dfrac13=\dfrac{-x^2+3}{x+1}+\dfrac13$
$\to y+\dfrac13=\dfrac{-3x^2+x+10}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{-(x-2)(3x+5)}{3(x+1)}$
Mà $-1<x<2\to \dfrac{-(x-2)(3x+5)}{3(x+1)}>0$
$\to y+\dfrac13>0$
$\to y>-\dfrac13$
Để $f(x)<0\quad\forall x\in (-1,2 )$
Do $2m<\dfrac{-x^2+3}{x+1},\dfrac{-x^2+3}{x+1}>-\dfrac13 $
$\to 2m\le-\dfrac13$
$\to m\le-\dfrac16$
