Xét các TH: TH1: \(m = 0\). TH2: \( - 100 \le m \le - 1\), \(m \in \mathbb{Z}\). TH3: \(1 \le m \le 100\), \(m \in \mathbb{Z}\). Ứng với mỗi TH tìm cụ thể số đường TCN của đồ thị hàm số, tìm số đường TCĐ thỏa mãn yêu cầu bằng cách sử dụng bài toán tương giao.Giải chi tiết:TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\). Đồ thị hàm số có 1 TCN \(y = 0\). Ta có \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có 3 đường TCĐ Vậy khi \(m = 0\) thì đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận \( \Rightarrow m = 0\) không thỏa mãn. TH2: \( - 100 \le m \le - 1\), \(m \in \mathbb{Z}\). ĐKXĐ: \(1 + m{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le \dfrac{{ - 1}}{m} \Leftrightarrow - \sqrt {\dfrac{{ - 1}}{m}} \le x \le \sqrt {\dfrac{{ - 1}}{m}} \), do đó đồ thị hàm số không có TCN. Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì đó phải là 2 đường tiệm cận đứng \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = m\) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 2\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\). Vậy \(m = - 2\). TH3: \(1 \le m \le 100\), \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow 1 + m{x^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), đồng thời bậc tử < bậc mẫu nên đồ thị hàm số có 1 TCN \(y = 0\). Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì đồ thị phải có 1 đường tiệm cận đứng \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = m\) phải có 1 nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\), kết hợp điều kiện của TH3 ta có \(m \in \left\{ {3;4;...;100} \right\}\). Vậy tất cả có 99 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B
