Giải thích các bước giải:
a,
Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
> 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.\left( {8m + 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 32m - 4 > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 28m > 0\\
\Leftrightarrow m\left( {m - 28} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 28\\
m < 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}.{x_2} > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 2 > 0\\
8m + 1 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - 2\\
m > - \frac{1}{8}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m > - \frac{1}{8}
\end{array}\)
Kết hợp điều kiện (*) ta được \(\left[ \begin{array}{l}
m > 28\\
- \frac{1}{8} < m < 0
\end{array} \right.\)
b,
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) < 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 < 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2.x.\frac{{m + 2}}{2} + {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} < {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} - 8m - 1\\
\Leftrightarrow {\left( {x - \frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} < {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} - 8m - 1\\
{\left( {x - \frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} \ge 0\\
\Rightarrow {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} - 8m - 1 > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 32m - 4 > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 28m > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 28\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
