Gọi `Ox ∩ MN = {A}`
Gọi `Oy ∩ MP = {B}`
Ta có:
`N` đối xứng với `M` qua `Ox`
`=>` \(\left\{ \begin{array}{l}MN ⊥ Ox = {A}\\AN = AM\end{array} \right.\)
`P` đối xứng với `M` qua `Oy`
`=>` \(\left\{ \begin{array}{l}MP ⊥ Oy = {B}\\MB = BP\end{array} \right.\)
Xét `ΔMON` có:
`OA ⊥ MN = {A}`
`AN = AM`
`=> ΔMON` cân tại `O`
`=> ON = OM`
Xét `ΔOPM` có:
`OB ⊥ MP = {B}`
`MB = BP`
`=> ΔOPM` cân tại `O`
`=> OP = OM`
Mà: `OM = ON`
`=> ON = OP = OM`
`b)`
Để `N` đối xứng với `P` qua `O`
`<=> ON = OP`
Ta có:
`N` là điểm đối xứng với `M` qua `Ox`
`=> Ox` là đường trung trực của `MN`
`P` là điểm đối xứng với `M` qua `Oy`
`=> Oy` là đường trung trực của `MP`
Qua đây, ta dễ dàng thấy rằng: `hat{MON}` kề bù với `hat{MOP}`
Vậy
Để `N` đối xứng với `P` qua `O`
`<=> hat{xOy} = 90^0`
