a) Vì DAEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{DAB}$ - $\widehat{DEB}$
Vì ABMN là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{DAB}$ - $\widehat{BNI}$
Do đó$\widehat{DEB}$-$\widehat{BNI}$$\rightarrow$$\widehat{BEI}$+$\widehat{ABC}$=$180^o$
$\Rightarrow$ BEIN là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{BEN}$-$\widehat{BIN}$
Vì DAEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BEN}$-$\widehat{ADB}$
Do đó $\widehat{BIN}$-$\widehat{ADB}$$\rightarrow$$\widehat{BIM}$+$\widehat{MDB}$=$180^o$
$\Rightarrow$ BDMI là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow$B, D, M, I cũng thuộc 1 đường tròn.
b) Vì ABNM là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BAE}$ = $\widehat{BMI}$ (1)
Vì DAEB và DMIB là các tứ giác nội tiếp nên
$\widehat{ABE}$=$\widehat{ADF}$ và $\widehat{MBI}$=$\widehat{ADE}$
$\Rightarrow$$\widehat{ABE}$=$\widehat{MBI}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$$\triangle$BAE $\backsim$ $\triangle$BMI (g.g)
$\Rightarrow$$\dfrac{BE}{BI}$=$\dfrac{AE}{MI}$$\Rightarrow$ MI . BE = BI . AE
c) Ta chứng minh AD . BE = AE . BD
Vì CD là tiếp tuyến của O nên $\widehat{CDA}$ = $\widehat{CBD}$
$\Rightarrow$ $\triangle$CDA $\backsim$ $\triangle$CBD (g.g)
$\Rightarrow$ $\dfrac{DA}{BD}$=$\dfrac{CD}{CB}$
Chứng minh tương tự ta có $\Rightarrow$ $\dfrac{EA}{EB}$=$\dfrac{CE}{CB}$
Mà theo tính chất tiếp tuyến ta có
CD = CE nên $\dfrac{DA}{BD}$=$\dfrac{EA}{EB}$ $\Rightarrow$ AD . BE = AE . BD
Ta chứng minh DE đi qua điểm K là giao điểm hai tiếp tuyến tại A và B của O
Gọi $\widehat{K1}$ , $\widehat{K2}$ lần lượt là giao điểm DE với tiếp tuyến của O tại A và B
Khi đó
$\widehat{K_{1}AE}$ = $\widehat{K_{1}DA}$ $\Rightarrow$$\triangle$$K_{1}AE$$\backsim$$\triangle$$K_{1}DA$ (g.g)
$\Rightarrow$$\dfrac{AE}{AD}$=$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}A}$=$\dfrac{K_{1}A}{K_{1}D}$
$\Rightarrow$($\dfrac{AE}{AD}$)$^{2}$ =$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}A}$.$\dfrac{K_{1}A}{K_{1}D}$=$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}D}$.
Chứng minh tương tự ta có:
($\dfrac{BE}{BD}$)$^{2}$ =$\dfrac{K_{2}E}{K_{2}D}$
Mà AD.BE=AE.BD$\Rightarrow$$\dfrac{AE}{AD}$=$\dfrac{BE}{BD}$
$\longrightarrow$$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}D}$=$\dfrac{K_{2}E}{K_{2}D}$.
Do $K_{1}$ và $K_{2}$ đều nằm ngoài đoạn DF, nên $K_{1}$ và $K_{2}$ chia ngoài đoạn DF theo các tỷ số bằng nhau $\Rightarrow$$K_{1}$ $\equiv$ $K_{2}$ $\equiv$ K
Vậy DE luôn đi qua điểm K cố định
