Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

a) Ta sử dụng tam giác đồng dạng và bắc cầu tỉ số
b) Sử dụng tứ giác nội tiếp, sau đó tiếp tục bắc cầu tỉ số với gợi ý từ câu a)
c) Dự đoán được điểm cố định, sau đó đưa về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàngGiải chi tiết:
a) Xét $\Delta PDA$ và $\Delta PBD$ có: $\angle BPD$ chung, $\angle PDA=\angle PBD\left( =\frac{1}{2}sd\overset\frown{AD} \right)$
Suy ra $\Delta PDA\sim \Delta PBD\Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{PD}{PB}$
Tương tự ta có $\Delta PCA\sim \Delta PBC\Rightarrow \frac{CA}{CB}=\frac{PC}{PB}$
Lại có \(PD=PC\Rightarrow \frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}\).
b) Có $\angle BFI=\angle BAC$ (tứ giác $BFEA$ nội tiếp), $\angle BDC=\angle BAC$ (tứ giác $BDAC$ nội tiếp)
Suy ra $\angle BFI=\angle BDC\Rightarrow BDIF$ là tứ giác nội tiếp, suy ra $\angle FBI=\angle FDI=\angle ADC=\angle ABC$
Từ đó suy ra  $\Delta IFB\sim \Delta CAB\Rightarrow \frac{FI}{BI}=\frac{CA}{CB}\,\,\left( 1 \right)$
Có $\angle BCD=\angle BAD=\angle BEI\Rightarrow BCEI$ là tứ giác nội tiếp, suy ra $\angle EBI=\angle ECI=\angle ABD$
Từ đó suy ra $\Delta EIB\sim \Delta ADB\Rightarrow \frac{EI}{BI}=\frac{AD}{BD}\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ và theo kết quả câu a) thì ta có $\frac{FI}{BI}=\frac{EI}{BI}\Rightarrow FI=EI\Rightarrow I$ là trung điểm \(EF\).
c) Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB$.
Gọi $G$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $A,B$ với đường tròn $\left( O' \right)$, thế thì $G$ cố định.
Thế thì $O'{{A}^{2}}=O'K.O'G$
Lại có $O'{{C}^{2}}=O'H.O'P$, mà $O'A=O'C\Rightarrow O'K.O'G=O'H.O'P\Rightarrow \frac{O'K}{O'P}=\frac{O'H}{O'G}$
Từ đó suy ra $\Delta GHO'\sim \Delta PKO'\,\left( c.g.c \right)$, mà $\angle PKO'=90{}^\circ \Rightarrow \angle GHO'=90{}^\circ \Rightarrow GH\bot HO'$
Mà $CD\bot HO'\Rightarrow G,D,C$ thẳng hàng.
Vậy khi $P$ thay đổi thì $CD$ luôn đi qua $G$ cố định.