a) Ta có:

$CD$ là tiếp tuyến chung của $(O)$ và $(O')\quad (gt)$

$\to OC\perp CD;\, O'D\perp CD$

$\to OC//O'D$

$\to \widehat{COO'} + \widehat{DO'O} = 180^\circ$

Ta lại có:

$OC = OA = R$

$\to ΔOAC$ cân tại $O$

$\to \widehat{OAC} = \dfrac{180^\circ - \widehat{COA}}{2} = \dfrac{180^\circ - \widehat{COO'}}{2}$

Tương tự, ta được:

$ΔO'AD$ cân tại $O'$

$\to \widehat{O'AD} = \dfrac{180^\circ - \widehat{DO'O}}{2}$

Do đó:

$\widehat{OAC} + \widehat{O'AD} = \dfrac{180^\circ - \widehat{COO'}}{2} + \dfrac{180^\circ - \widehat{DO'O}}{2}$

$\to \widehat{OAC} + \widehat{O'AD} =\dfrac{360^\circ -(\widehat{COO'} + \widehat{DO'O})}{2}$

$\to \widehat{OAC} + \widehat{O'AD} =\dfrac{360^\circ - 180^\circ}{2} =90^\circ$

$\to \widehat{CAD} = 180^\circ - ( \widehat{OAC} + \widehat{O'AD})$

$\to \widehat{CAD} = 180^\circ - 90^\circ =90^\circ$

b) Ta có:

$CD;\, AM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C;\, A\quad (gt)$

$CD\cap AM = \{M\}$

$\to MC = MA$

Lại có:

$OC = OA = R$

$\to OM$ là trung trực của $AC$

$\to OM\perp AC$

$\to \widehat{MEA} =90^\circ$

Tương tự, ta được:

$O'M$ là trung trực của $AD$

$\to O'M\perp AD$

$\to \widehat{MFA} =90^\circ$

Xét tứ giác $AEMF$ có:

$\widehat{MEA} = \widehat{MFA} = \widehat{EAF} =90^\circ$

Do đó $AEMF$ là hình chữ nhật

c) Ta có:

$AEMF$ là hình chữ nhật (câu b)

$\to \widehat{EMF} = \widehat{OMO'} =90^\circ$

$\to ΔOMO'$ vuông tại $M$

Lại có: $MA\perp OO'$ (tiếp tuyến chung trong vuông góc đường nối tâm)

$\to MA$ là chiều cao của $ΔOMO'$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔOMO'$ vuông tại $M$ đường cao $MA$ ta được:

$MA^2 = OA.O'A = R.R'$

$\to MA = \sqrt{R.R'} = sqrt{4,5.2} = 3$

Mặt khác:

$\begin{cases}MA = MC\\MA = MD\end{cases}\quad \text{(câu b)}$

$\to MA = MC = MD$

$\to CD = 2MA$

$\to CD = 2.3 = 6$