Ta chứng minh BĐT `x^2 + y^2 ≥ 2xy` `(1)`
BĐT `⇔ x^2 + y^2 - 2xy ≥ 0` `⇔ (x-y)^2 ≥ 0` (luôn đúng)
Theo BĐT `(1)` ta có :
`a^4 + b^2 ≥ 2a^2b`
`b^4 + a^2 ≥ 2b^2a`
`⇒ P ≤ 1/(2a^2b + 2ab^2) + 1/(2b^2a + 2a^2b)`
`⇒ P ≤ 1/(2ab(a+b)) + 1/(2ab(a+b))`
Vì `2 ≤ a+b`
`⇔ P ≤ 1/(4ab) + 1/(4ab) = 1/(2ab)`
Từ BĐT : `x^2 + y^2 ≥ 2xy`
Cộng `( x^2 + y^2 )` vào hai vế, ta có :
`2(x^2 + y^2) ≥ 2xy + x^2 + y^2`
`⇔ 2(x^2 + y^2) ≥ (x + y)^2` `(2 )`
Theo bài ra : `a + b ≥ 2`
`⇒ (a + b)^2 ≥ 4`
Theo BĐT `(2)` : `2(a^2 + b^2) ≥ (a + b)^2 ≥ 4`
`⇒ 2(a^2+b^2) ≥ 4`
`⇒ a^2 + b^2 ≥ 2`
`⇒ (a + b)^2 - 2ab ≥ 2`
`⇒ ab ≤ ((a+b)^2 - 2)/2` và `2ab ≤ (a+b)^2 - 2`
Khi đó :
`P ≤ 1/(2ab) < 1/((a+b)^2 - 2)`
`⇒` `P ≤ 1/(2^2 -2) = 1/2`
Vậy Max `P = 1/2` .
Dấu `=` xảy ra khi : `a = b = 1`
