Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

Xét hiệu và biến đổi các biểu thức đã cho về tổng, tích,… của các biểu thức luôn đúng với mọi điều kiện của \(a\).Giải chi tiết:+) Xét đáp án A
\(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^4} + 1}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2{a^2} - {a^4} - 1}}{{2\left( {{a^4} + 1} \right)}}\)
\( =  - \dfrac{{{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^4} + 1} \right)}} \le 0\) với mọi số thực dương \(a\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{a^4} + 1}} \le \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án A sai.
+) Xét đáp án B
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{ab + 1}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2\sqrt {ab}  - \left( {ab + 1} \right)}}{{2\left( {ab + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{ - \left( {ab - 2\sqrt {ab}  + 1} \right)}}{{2\left( {ab + 1} \right)}}\end{array}\)
\( = \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {ab + 1} \right)}} \le 0\) với mọi số thực dương \(a,\,\,b\)
\( \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{ab + 1}} \le \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.
+) Xét đáp án C
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{{a^2} + 2}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2\sqrt {{a^2} + 1}  - {a^2} - 2}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}}\\ =  - \dfrac{{{a^2} - 2\sqrt {{a^2} + 1}  + 2}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}}\\ =  - \dfrac{{{a^2} + 1 - 2\sqrt {{a^2} + 1}  + 1}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}}\end{array}\)
\( =  - \dfrac{{\left( {\sqrt {{a^2} + 1}  - 1} \right)}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}} \le 0\) với mọi số thực dương \(a\)
\( \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{{a^2} + 2}} \le \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.
Chọn C.