Cho hai số thực dương \(x,y \) thỏa mãn điều kiện \(x+y \le 4 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P= \frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+ \frac{35}{xy}+2xy \) A.\(\frac{7}{2}\) B.\(\frac{17}{2}\) C.\(\frac{1}{2}\) D.\(\frac{-17}{2}\)
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:\(P=\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{35}{xy}+2xy=\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{3}{xy}+\frac{32}{xy}+2xy=\left( \frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{3}{xy} \right)+\left( \frac{32}{xy}+2xy \right)\) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: \(xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\Rightarrow \frac{3}{xy}\ge \frac{6}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\Rightarrow \frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{3}{xy}\ge \frac{8}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \frac{8}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}\ge \frac{8}{16}=\frac{1}{2}\) \(\frac{32}{xy}+2xy\ge 2\sqrt{\frac{32}{xy}.2xy}=8\) Suy ra \(P\ge \frac{1}{2}+8=\frac{17}{2}\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{align} & x=y \\ & \frac{32}{xy}=2xy \\ & x+y=4 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=2\) Vậy \({{P}_{\min }}=\frac{17}{2}\) khi \(x=y=2\). Chọn B