Đáp án:
$GTNN$ của $M =\dfrac{3}{2} ⇔ x = y = \dfrac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
@ Xét $ 0 < x ≤ 1 ; x + y ≥ 1 ⇔ y ≥ 1 - x ≥ 0$
$ ⇒ M = y² + \dfrac{8x² + y}{4x} $
$ ≥ (1 - x)² + 2x + \dfrac{1 - x}{4x}$
$ = x² - 2x + 1 + 2x + \dfrac{1}{4x} - \dfrac{1}{4}$
$ = x² + \dfrac{1}{8x} + \dfrac{1}{8x} + \dfrac{3}{4}$
$ ≥ 3\sqrt[3]{x².\dfrac{1}{8x}.\dfrac{1}{8x} } + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} (AM - GM)$
$ ⇒ M ≥ \dfrac{3}{2} (1)$.
Dấu $'=' ⇔ x² = \dfrac{1}{8x} ⇔ x = \dfrac{1}{2}; y = \dfrac{1}{2}$
@ Xét $ x > 1 ⇒ x - 1 > 0; 8x - 1 > 0$
$ M - 2 = y² + \dfrac{8x² + y}{4x} - 2 $
$ = y² + \dfrac{8x² + y - 8x}{4x} = y² + \dfrac{8x² - 9x + x + y }{4x}$
$ ≥ y² + \dfrac{8x² - 9x + 1}{4x} = y² + \dfrac{(8x - 1)(x - 1)}{4x} > 0$
$ ⇒ M > 2 (2)$
So sánh $(1); (2) ⇒ GTNN$ của $M = \dfrac{3}{2} $
Xảy ra khi $ x = y = \dfrac{1}{2}$
