Cho hàm số bậc ba \\(y = f\\left( x \\right)\\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hỏi phương trình \\(f\\left( {xf\\left( x \\right)} \\right) - 2 = 0\\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt. A.\(3\) B.\(4\) C.\(5\) D.\(6\)
Đáp án đúng: D Phương pháp giải: - Đặt \(t = xf\left( x \right)\) \( \Rightarrow f\left( t \right) = 2\). Sử dụng tương giao đồ thị hàm số giải phương trình tìm \(t\). - Cô lập \(f\left( x \right)\), tiếp tục sử dụng tương giao hàm số để giải phương trình. - Sử dụng kĩ năng chọn đại diện 1 số cụ thể thỏa mãn điều kiện, để bài toán đơn giản hơn.Giải chi tiết:Đặt \(t = xf\left( x \right)\) ta có: \(f\left( t \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = 2\). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(f\left( t \right) = 2\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { - 4; - 2} \right)\\t = 0\\t = b \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\). \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}xf\left( x \right) = a \in \left( { - 4; - 2} \right)\\xf\left( x \right) = 0\\xf\left( x \right) = b \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{a}{x}\,\,\,\left( {x \ne 0} \right);\,\,a \in \left( { - 4; - 2} \right)\\x = 0\\f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 4\\f\left( x \right) = \dfrac{b}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right);\,\,b \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\) Chọn \(a = - 3\), xét phương trình \(f\left( x \right) = - \dfrac{3}{x}\,\,\left( 1 \right)\), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = - \dfrac{3}{x}\). Chọn \(b = 1\), xét phương trình \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\,\,\left( 2 \right)\), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = \dfrac{1}{x}\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt. Chọn D.