- Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có tối đa 3 nghiệm phân biệt.- Dựa vào giả thiết tìm các nghiệm của \(f'\left( x \right) = 0\), từ đó suy ra dạng của \(f'\left( x \right)\).- Tính đạo hàm hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\), xác định các nghiệm bội lẻ của phương trình đạo hàm và suy ra số điểm cực trị của hàm số.Giải chi tiết:Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có tối đa 3 nghiệm phân biệt.Theo giả thiết \(xf'\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)f'\left( x \right)\).Thay \(x = 0 \Rightarrow - 3f'\left( 0 \right) \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0\).Thay \(x = 3 \Rightarrow 3f'\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 0\).Thay \(x = 1 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = - 2f'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( 1 \right) = 0\).\( \Rightarrow \) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \(x = 0,\,\,x = 1,\,\,x = 2\), do đó \(f'\left( x \right)\) có dạng\(f'\left( x \right) = ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2}} \right) = 2a{x^3}\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\), các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ.Vậy hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) có 5 điểm cực trị.Chọn D
