Giải thích các bước giải:
1.Để $(d)$ đi qua $A(1,-1)$
$\to -1=(m-2)\cdot 1+m-1$
$\to m=1$
Khi đó $y=-x+2$ có đồ thị là đường thẳng đi qua $2$ điểm $(0,2), (2,0)$
2.Để $(d)//(d'):y=1-3x$
$\to\begin{cases}m-2=-3\\ m+1\ne 1\end{cases}$
$\to\begin{cases}m=-1\\ m\ne 0\end{cases}$
$\to m=-1$
3.Với $m=2\to y=3\to d(O,d)=3$
$\to m=2$(loại)
$\to m\ne 2$
Khi đó đồ thị hàm số $y=(m-2)x+m+1$ giao trục $Oy$ tại $A(0,m+1)$ và $Ox$ tại $B(-\dfrac{m+1}{m-2},0)$
Vì $A\in Oy, B\in Ox\to \Delta OAB$ vuông tại $O$
Gọi $OH\perp AB$
$\to OH$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)\to OH=1$
Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A,OH\perp AB$
$\to\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac1{OA^2}+\dfrac1{OB^2}$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\to\dfrac{1}{1^2}=\dfrac1{(m+1)^2}+\dfrac1{(-\dfrac{m+1}{m-2})^2}$
$\to \dfrac{1}{1^2}=\dfrac{1}{\left(m+1\right)^2}+\dfrac{\left(m-2\right)^2}{\left(m+1\right)^2}$
$\to \left(m+1\right)^2=1+\left(m-2\right)^2$
$\to m^2+2m+1=m^2-4m+5$
$\to 6m=4$
$\to m=\dfrac23$
