Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Xét tính phân \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x\cos xf\left( {\sin x} \right)dx} \), đổi biến \(t = \sin x\), sau đó sử dụng tích phân từng phần để tính được \(\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} \).
- Chứng minh \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + 7{x^3}} \right]}^2}dx} = 0\), từ đó suy ra \(f'\left( x \right)\).
- Tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).
- Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) với hàm số \(f\left( x \right)\) vừa tìm được.
Giải chi tiết:Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x\cos xf\left( {\sin x} \right)dx} \).
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_0^1 {{t^2}f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\) (tính chất không phụ thuộc biến số).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = \left. {\dfrac{1}{3}{x^3}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}f\left( 1 \right) - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.0 - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = - 1\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + 7{x^3}} \right]}^2}dx} = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} + 14\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} + 49\int\limits_0^1 {{x^6}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 7 - 14 + 7 = 0\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + 7{x^3}} \right]}^2}dx} = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 7{x^3} = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - 7{x^3}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int { - 7{x^3}dx} = \dfrac{{ - 7}}{4}{x^4} + C\end{array}\)
Mà \(f\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{7}{4} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{7}{4}\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{ - 7}}{4}{x^4} + \dfrac{7}{4}\).
Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - \dfrac{7}{4}{x^4} + \dfrac{7}{4}} \right)dx} = \dfrac{7}{5}\).
Chọn A.
