Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits

1800100biet

2 năm trước

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
A.\(6\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(1\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

lykhanhnguyen2002

Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
- Xét tính phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4\), sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \tan x\).
- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \).
Giải chi tiết:Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4\).
Đặt \(t = \tan x\)\( \Rightarrow {\rm{d}}t = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = \left( {1 + {t^2}} \right)dx\) \( \Rightarrow \dfrac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}} = {\rm{d}}x\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\), khi đó ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( {\mathop{\rm t}
olimits} \right)}}{{1 + {t^2}}}{\rm{d}}t} = 4\)\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {x^2}}}{\rm{d}}x} = 4\).
Ta có: \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {x^2}}}{\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = } \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {x^2}}}\left( {1 + {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4 + 2 = 6\).
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Mạch RLC nối tiếp có \(R = 25\,\,\Omega ;\,\,C = \dfrac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }\,\,F\) và L là cuộn dây thuần cảm biến đổi được. Hiệu điện thế giữa hai đầu mạch là \(u = 200\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( V \right)\). Thay đổi L sao cho công suất mạch đạt cực đại. Giá trị của L khi đó là
A.\(L = \dfrac{1}{{2\pi }}\,\,H\)
B.\(L = \dfrac{1}{\pi }\,\,H\)
C.\(L = \dfrac{2}{\pi }\,\,H\)
D.\(L = \dfrac{4}{\pi }\,\,H\)

Đặt điện áp \(u = {U_0}\cos \left( {2\pi ft} \right)\,\,\left( V \right)\) vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp. Lần lượt thay đổi tần số \({f_1} = f;{f_2} = f + 20Hz\) thì hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm có giá trị bằng hiệu điện thế cực đại hai đầu đoạn mạch. Khi \({f_3} = f - 20Hz\) thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu điện trở cực đại. Giá trị của f gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau đây?
A.200 Hz.
B.100 Hz.
C.180 Hz.
D.220 Hz.

Mạch điện RCL nối tiếp có C thay đổi được. Điện áp hai đầu đoạn mạch \(u = 200\sqrt 2 \cos 100\pi t\,\,\left( V \right)\). Khi \(C = {C_1} = \dfrac{{50}}{\pi }\,\,\mu F\) thì mạch tiêu thụ công suất cực đại \({P_{\max }} = 160\,\,{\rm{W}}\). Khi \(C = {C_2} = \dfrac{1}{{5\pi }}\,\,mF\) thì điện áp hai đầu đoạn mạch RC và cuộn dây vuông pha với nhau, điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây khi đó gần giá trị nào nhất sau đây
A.90 V
B.120 V
C.75 V
D.140 V

Đoạn mạch AB gồm hai đoạn AD và DB ghép nối tiếp. Điện áp tức thời trên các đoạn mạch và dòng điện qua chúng lần lượt có biểu thức \({u_{AD}} = 100\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( V \right)\); \({u_{DB}} = 100\sqrt 6 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\,\,\left( V \right)\); \(i = 2\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( A \right)\). Công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB là
A.100 W
B.242 W
C.348 W
D.250 W

Đoạn mạch xoay chiều có RLC mắc nối tiếp với \({u_{AB}} = 60\sqrt 2 \cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\,\,V\); C biến thiên. Khi điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ C cực đại thì điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn dây (thuần cảm) là 64 V. Điện áp cực đại UCmax là
A.50 V
B.100 V
C.60 V
D.52 V

Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm biến trở R và cuộn cuộn cảm thuần L. Gọi φ là độ lệch pha của điện áp hai đầu đoạn mạch và cường độ dòng điện trong đoạn mạch. Hình vẽ là đồ thị của công suất mà mạch tiêu thụ theo giá trị của φ. Giá trị của φ1 gần giá trị nào nhất sau đây?
A.0,48 rad
B.0,52 rad
C.0,42 rad
D.

Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB nối tiếp theo thứ tự cuộn cảm thuần có độ tự cảm thay đổi, điện trở thuần và tụ điện. Gọi ULR là điện áp hiệu dụng đoạn mạch gồm cuộn cảm và điện trở, cosφ là hệ số công suất đoạn mạch AB. Đồ thị bên mô tả sự phụ thuộc của ULR và cosφ theo ZL. Giá trị của R gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.25 Ω
B.40 Ω
C.50 Ω
D.36 Ω

Đặt điện áp \(u = 200\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right)\,\,\left( V \right)\) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở \(R = 50\sqrt 3 \,\,\Omega \), tụ điện C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Điều chỉnh độ tự cảm đến giá trị L = Lm để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại và bằng 400 V. Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch khi đó là
A.\(i = 4\cos \left( {100\pi t - \dfrac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( A \right)\)
B.\(i = 2\cos \left( {100\pi t - \dfrac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( A \right)\)
C.\(i = 2\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right)\,\,\left( A \right)\)
D.\(i = 4\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right)\,\,\left( A \right)\)

Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC có \(R = 30\sqrt 3 \,\,\Omega ;C = \dfrac{{{{5.10}^{ - 4}}}}{{3\pi }}\,\,F\), cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch là \(u = 100\sqrt 6 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( V \right)\). Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch RL cực đại, giá trị đó bằng
A.210 V
B.100 V
C.300 V
D.200 V.

Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi, tần số thay đổi được vào hai đầu đoạn mạch RLC mắc nối tiếp với \(2L > C{R^2}\). Khi f = f1 = 30 Hz hoặc f = f2 = 150 Hz thì điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm cùng giá trị. Khi f = f3 = 50 Hz hoặc f = f4 = 200 Hz thì điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện có cùng giá trị. Để \({U_{R\max }}\) thì tần số có giá trị bằng
A.90 Hz
B.78 Hz
C.86 Hz
D.122 Hz

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến