Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

Biến đổi và đưa 2 vế về dạng đạo hàm.Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}2\sin 2x\left[ {f\left( x \right) + {e^{\cos 2x}}\sqrt {f\left( x \right)} } \right] + f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 2\sin 2x.f\left( x \right) =  - 2\sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\sqrt {f\left( x \right)} \\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\dfrac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\left[ {f'\left( x \right) + 2\sin 2x.f\left( x \right)} \right] =  - 2\sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }} + {e^{{{\sin }^2}x}}.2\sin 2x.\sqrt {f\left( x \right)}  =  - 2\sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }} + {e^{{{\sin }^2}x}}.\sin 2x.\sqrt {f\left( x \right)}  =  - \sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right)' + \left( {{e^{{{\sin }^2}x}}} \right)'.\sqrt {f\left( x \right)}  =  - \sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow \left( {{e^{{{\sin }^2}x}}.\sqrt {f\left( x \right)} } \right)' = \left( {{e^{{{\cos }^2}x}}} \right)'\\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\sqrt {f\left( x \right)}  = {e^{{{\cos }^2}x}} + C\end{array}\)
Theo bài ra ta có \(f\left( 0 \right) = {e^2} \Rightarrow {e^0}\sqrt {f\left( 0 \right)}  = {e^1} + C \Leftrightarrow C = 0\).
\( \Rightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\sqrt {f\left( x \right)}  = {e^{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right)}  = {e^{\cos 2x}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{2\cos 2x}}\).
Vậy \(f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = {e^{2\cos \frac{{4\pi }}{3}}} = \dfrac{1}{e} \approx 0,37 \in \left( {0;1} \right)\).
Chọn D