Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Biến đổi \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right){f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 3\).
\( \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx}  = \int {\left( {2x + 3} \right)dx}  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + 3x + C\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{{{x^2} + 3x + C}}\), mà \(f\left( 0 \right) =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow C = 2\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} =  - \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} =  - \left[ {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}} \right]\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{b} = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) + f\left( {2018} \right)\\\,\,\,\,\, =  - \left( {\dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2018.2019}} + \dfrac{1}{{2019.2020}}} \right)\\\,\,\,\,\, =  - \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{2018}} - \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2019}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\\,\,\,\,\, =  - \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2020}}} \right) =  - \dfrac{{1009}}{{2020}}\end{array}\)
Với điều kiện \(a,\,\,b\) thỏa mãn bài toán, suy ra \(a =  - 1009,\,\,b = 2020 \Rightarrow b - a = 3029\).