Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}
M\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)\\
M\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Gọi \(M\left( {a;\frac{{a + 1}}{{a - 2}}} \right)\), với a khác 2 thuộc đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) nhận đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng và \(y = 1\) là tiệm cận ngang
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là \(\left| {a - 2} \right|\), đến tiệm cận ngang là \(\left| {\frac{{a + 1}}{{a - 2}} - 1} \right|\)
Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là:
\[\begin{array}{l}
d = \left| {a - 2} \right| + \left| {\frac{{a + 1}}{{a - 2}} - 1} \right|\\
= \left| {a - 2} \right| + \left| {\frac{{a + 1 - a + 2}}{{a - 2}}} \right|\\
= \left| {a - 2} \right| + \frac{3}{{\left| {a - 2} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {a - 2} \right|.\frac{3}{{\left| {a - 2} \right|}}} = 2\sqrt 3
\end{array}\]
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi
\[\left| {a - 2} \right| = \frac{3}{{\left| {a - 2} \right|}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a - 2 = \sqrt 3 \\
a - 2 = - \sqrt 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
M\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)\\
M\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)
\end{array} \right.\]
