Đáp án:
$\sum m = 2$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = 2x^3 - 3(3m-1)x^2 + 6(2m^2 - m)x + 3$
$\to y' = 6x^2 - 6(3m-1)x + 6(2m^2 - m)$
Hàm số có khoảng nghịch biến
$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$
$\Leftrightarrow 9(3m-1)^2 - 36(2m^2 - m) >0$
$\Leftrightarrow (m-1)^2 >0$
$\Leftrightarrow m\ne 1$
Với $x_1; x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số
$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 3m - 1\\x_1x_2 = 2m^2 - m\end{cases}$
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $4$
$\Leftrightarrow |x_1 - x_2| = 4$
$\Rightarrow (x_1 - x_2)^2 = 16$
$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 16$
$\Leftrightarrow (3m-1)^2 - 4(2m^2 - m) = 16$
$\Leftrightarrow (m-1)^2 = 16$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m - 1 = 4\\m - 1 = -4\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 5\\m = -3\end{array}\right.$ (nhận)
$\Rightarrow \sum m = 2$
