a,
1. TXĐ $D=\mathbb{R}$ \ $\{-1\}$
2. Sự biến thiên của hàm số
$\lim\limits_{x\to \pm \infty}y=1$
$\to$ TCN: $y=1$
$\lim\limits_{x\to (-1)^+}y=+\infty$
$\to$ TCĐ: $x=-1$
Xét $y'=\dfrac{-2}{(x+1)^2}$
$y'<0\quad\forall x\in D\to$ hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$
Hàm số không có cực trị
3. Vẽ đồ thị
Tâm đối xứng $I(-1;1)$
Đồ thị đi qua các điểm: $(0;3)$, $(-3;0)$
b,
ĐK: $x\ne -1$
PTHĐGĐ: $\dfrac{x+3}{x+1}=2x+m$
$\to x+3=(2x+m)(x+1)$
$\to 2x^2+2x+mx+m-x-3=0$
$\to 2x^2+(m+1)x+m-3=0$
$\Delta=(m+1)^2-8(m-3)=m^2+2m+1-8m+24=m^2-6m+25=(m-3)^2+16>0\quad\forall m$
$\to d$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt
Theo Viet: $\begin{cases} x_A+x_B=\dfrac{-m-1}{2}\\ x_A x_B=\dfrac{m-3}{2}\end{cases}$
$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$
$AB^2=(x_A-x_B)^2+(2x_A-2x_B)^2$
$=5(x_A-x_B)^2$
$=5(x_A+x_B)^2-20x_A x_B$
$=5.\dfrac{ (m+1)^2}{ 4}-20.\dfrac{ m-3}{2}$
$= \dfrac{5}{4}(m^2+2m+1) -10m +30$
$=\dfrac{5}{4}m^2 -\dfrac{15}{2}m +\dfrac{125}{4}\ge 20$
Vậy $\min AB=\sqrt{20}$, dấu $=$ xảy ra khi $m=3$
