Đáp án:
\[\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{6} < m < \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{6}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = - {x^3} + \left( {3m + 1} \right){x^2} + mx - 2\\
\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 2.\left( {3m + 1} \right)x + m\\
y' \le 0,\,\,\,\,\,\forall x \in R\\
\Leftrightarrow - 3{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x + m \le 0,\,\,\,\,\,\forall x \in R\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {3m + 1} \right)x - m \ge 0,\,\,\,\,\,\forall x \in R\\
\Leftrightarrow \Delta ' < 0\\
\Leftrightarrow {\left( {3m + 1} \right)^2} - 3.\left( { - m} \right) < 0\\
\Leftrightarrow 9{m^2} + 6m + 1 + 3m < 0\\
\Leftrightarrow 9{m^2} + 9m + 1 < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{6} < m < \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{6}
\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{6} < m < \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{6}\)
