Đáp án:
$m = \pm 2$
Giải thích các bước giải:
$y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 -1)x - m^3 + m$
$TXD: D =\Bbb R$
$y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 -1)$
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$
$\Leftrightarrow (3m)^2 - 9(m^2 -1) > 0$
$\Leftrightarrow 9 > 0$ (luôn đúng)
$\to $ Hàm số luôn có cực trị
Hàm số có 2 điểm cực trị $x_1;x_2$ là nghiệm của $y' = 0$
Áp dụng định lý Vi-ét ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m\\x_1x_2 = m^2 -1\end{cases}$
Ta có: $x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7$
$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 7$
$\Leftrightarrow (2m)^2 - 3(m^2 - 1) = 7$
$\Leftrightarrow m^2 + 3 = 7$
$\Leftrightarrow m^2 = 4$
$\Leftrightarrow m = \pm 2$
