Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3m3 (1), m là số thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 (HS tự làm) 2. Tìm m để đồ thị (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. A.m = ± 2 B.m = 2 C.m = - 2 D.m = ± 4
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:1. Với m = 1, hàm số trở thành y = x3 – 3x2 + 3. Tập xác định D = R y’ = 3x2 – 6x, y’ = 0 ⇔ 3x2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, yCĐ = 3; Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2; yCT = -1 y = -∞, y = +∞ => Hàm số không có tiệm cận
2. y’ = 3x2 – 6mx, y’ = 0 ⇔ 3x2 – 6mx = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2m Để hàm số có 2 cực trị thì y’ = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0. Vậy các điểm cực trị của hàm số là A(0, 3m3), và B(2m, -m3) SOAB = OA. D(B; OA) = 3m4 với OA = |yA| = 3|m|3 và d(B; OA) = |xB| = 2|m| Theo giả thiết SOAB = |-6m4| = 48 ⇔ m4 = 16 ⇔ m = ± 2 (thỏa mãn) Vậy m = ± 2 là giá trị cần tìm.