Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.- Tìm cụ thể tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).- Để tam giác \(IBC\) cân tại \(I\) thì \(IB = IC\) \( \Leftrightarrow I{B^2} = I{C^2}\), với \(I\left( {1;4} \right)\). Giải phương trình tìm \(m\).Giải chi tiết:Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {2m + 13} \right)x - m - 2 = mx + m + 8\\ \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {3m + 13} \right)x - 2m - 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y = - 3 + 8\\x = - 1 \Rightarrow y = 8\\x = m + 5 \Rightarrow y = {m^2} + 6m + 8\end{array} \right.\end{array}\)Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}m + 5 \ne - 2\\m + 5 \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 7\\m \ne - 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - 2; - 3 + 8} \right),\,\,B\left( { - 1;8} \right);\,\,C\left( {m + 5;{m^2} + 6m + 8} \right)\).Để tam giác \(IBC\) cân tại \(I\) thì \(IB = IC\) \( \Leftrightarrow I{B^2} = I{C^2}\), với \(I\left( {1;4} \right)\).\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( { - 2} \right)^2} + {4^2} = {\left( {m + 4} \right)^2} + {\left( {{m^2} + 6m + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 20 = {m^2} + 8m + 16 + {m^4} + 36{m^2} + 16 + 12{m^3} + 8{m^2} + 48m\\ \Leftrightarrow {m^4} + 12{m^3} + 45{m^2} + 56m + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {{m^3} + 10{m^2} + 25m + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {m + 6} \right)\left( {{m^2} + 4m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 6\,\,\left( {ktm} \right)\\m = - 2 \pm \sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán và tổng của chúng bằng \( - 6\).Chọn B
